伽罗瓦理论之美（二）

二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔

【伽罗瓦的故事】

由于伽罗瓦的父亲死于政治事件，再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向，导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后，伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后，他更认定了这一点。

但是，今天再来分析这件事，可以比较确定的讲，伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件（特别是由于傅立叶的去世），而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃，论文中的论证过于简单，没有详细展开，导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上，以伽罗瓦的天才，在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程，可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。

于是，伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校，他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声，大家已经不再把他当作是数学研究者了，而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间，他公开发表严厉攻击校长的言论，终于被校长基尼约特给开除。从此，伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。

被开除后的伽罗瓦参加了国民警卫队的炮兵部队，试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后，新国王路易·菲利普取消了炮兵部队，伽罗瓦彻底失业了。索菲·热尔曼，一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗瓦“他身无分文，他的母亲也几乎没有钱财，但他却不改变得罪人的习性”。

在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上，伽罗瓦表达了杀死国王的意图，于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁，尚未完全成熟，判决无罪释放。一个月后，1831年7月14日的巴士底日，伽罗瓦身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行，从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中，他学会了喝酒，在一次喝醉后还试图自杀。

1832年3月，由于霍乱的爆发，伽罗瓦被提前释放。之后的几个星期里，伽罗瓦和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗瓦的事情后，十分愤怒，毫不犹豫向伽罗瓦提出挑战。这名绅士是当时法国一名最好的枪手，伽罗瓦深知决斗会给自己带来什么，但是他仍然接受了挑战。

挑战的前夜，伽罗瓦知道第二天将是自己生命的终结了，他唯一担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失，毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想，书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样，还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨，伽罗瓦写完了他的数学思想，并给他的朋友写了一封信。

伽罗瓦决斗前一晚所写的他的数学思想信中，伽罗瓦自信的写到“在我的一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性（而不是定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事。”。

第二天，1832年5月30日，伽罗瓦只身一人参与决斗，最终腹部中弹，无望地倒在地上，胜利者悄然离去。伽罗瓦的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场，把他送到医院，但是为时已晚，腹膜炎已经形成，5月31日，伽罗瓦离开了人世。

【伽罗瓦理论】

我无法想象1830年到1832年这段时间，伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下，在把主要精力都投入到政治斗争的情况下，是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来，即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂，都是不容易的，何况是创造出来。

由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的，因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的，先后顺序是怎么样的，思维总体上是怎样贯穿的？以下只是我个人的猜测。

（1）伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发，思考了域的扩张。

我们知道，有理数域Q是最小的数域，实数R、复数C也都构成一个数域，那么是否存在数域，范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢？甚至是否存在数域，其范围大于Q小于C，同时又不完全包含或者包含于R呢？这要从最小数域的扩张开始，域的扩张称为扩域。

扩域：把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素，在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下，按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域，记为E/F。

比如，我们在有理数域Q上添加一个无理数√2，形成一个新的数域Q(√2)，则Q(√2)/Q就是Q上的一个扩域。由域的定义知道，这个形成的新域不只是包含√2，还包含着任何通过有理数与√2进行加法和乘法得到的数。其实，除了加法和乘法，域里面还有着逆元，加法的逆元运算对应着减法，乘法的逆元运算对应着除法。也就是说，表面上域定义了加法和乘法，实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构，但是落实到我们日常的数字和运算上，与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。

可以证明，任何可以表示为a+b√2（a,b∈Q）的数都属于Q(√2)这个域，而这个域里面的任何数也都可以表示成为a+b√2（a,b∈Q）的形式。显然，这个Q(√2)就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具，我们可以构造出无穷多个数域。

（2）之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解

因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年，人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是，到底什么是根式求解？字面意思很容易理解，就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来，就是可以根式求解的；如果不能以这种方式表达，那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义，但是从数学的角度来说，还不够清晰。

伽罗瓦通过自己的深入思考，给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前，需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论：

• 一个数域里面的任何数，都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来；
• 除了个别特殊情况外，一般来讲，数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的（类似于√2∉Q）；
• 把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后，扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达，或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达；

明白了上面这3条结论，就可以知道，能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

纯扩域：B/F为扩域，B=F(d)，d∈B，dm∈F，此时把B称为F的m型纯扩域。

显然，所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方，然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域，根据前面的分析，纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去，把F扩为F1，把F1扩为F2，…，无论多少次这种扩域，只要是有限次，最终的扩域Fn中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此，引出一个新概念，根式塔。

根式塔：不断扩域形成的域列，F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1，如果每个扩域Fi+1/Fi（i=1,2, …,r）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。

于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的Fr+1之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

根式可解：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的根域），如果存在根式塔F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1，且E⊆ Fr+1，称域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽罗瓦给出的根式可解定义，我有一种感觉，也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的，他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西，但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确，有数学实体可以抓了。

END

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